علم المثلثات أو حساب المثلثات (باللاتينية: Trigonometria) هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا والمثلثات والتوابع المثلثية كالجيب والجيب التمام. وهو أحد فروع علم الهندسةالعامة.
لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات والزوايا في إنشاء المباني والطرق وفي صناعة المحركات وأجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة، وكذلك وفي حساب والفلك، وفي أنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية.
يكون مثلثان متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيرة أو تصغيرة. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة. أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول ضعف طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول يكون ضعف طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني.
اعتمادا على هذه القوانين، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين المثلث القائم. وهناك القانون القائل انه إذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، وتكون النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين (الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين وتعتمد فقط على قيمة الزاوية، وستكون عددا بين 0 و 1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف تجيب الزاوية على أنها النسبة بين الضلع المجاور لها والوتر
في المثلث القائم المبين في الشكل, يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف خواص الزاوية A كالآتي:
sin= جا (جيب الزاوية) = المقابل / الوتر
cos= جتا (جيب تمام الزاوية) = المجاور / الوتر
tan= ظا (ظل الزاوية) = المقابل / المجاور
- جيب الزاوية A = طول الضلع المقابل / الوتر(c/a)
- جيب تمام الزاوية A =طول الضلع المجاور / الوتر (c/b)
- ظل الزاوية A = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور (b/a).
الدالتين الجيب وجيب التمام هما أهم الدوال المثلثية. هناك أيضا توابع أخرى تُعرف بأخذ نسب أخرى من أضلاع المثلث القائم، أو نسب من التابعين الأساسيين الجيب وجيب التمام، هذه التوابع هي: ظل (ظا)، ظل تمام(ظتا)، قاطع (قا)، وقاطع تمام (قتا).
- ظل الزاوية A = جيب الزاوية/ جيب تمام الزاوية
- ظل تمام الزاوية A = جيب تمام الزاوية / جيب الزاوية
- قا (قاطع) الزاوية = 1 / جتا الزاوية (مقلوب الجتا)
- قاطع تمام (قتا) = 1 / جيب الزاوية (مقلوب الجيب)
بهذا نكون قد عرفنا التوابع(الاقترانات) المثلثية للزوايا من 0 إلى 90، من الممكن توسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام دائرة الوحدة.
عند إمكانية حساب التوابع المثلثية (من جداول أو الآلة الحاسبة) ومعرفة قيم ضلع وزاويتين أو ضلعين وزاوية أو ثلاثة أضلاع من المثلث، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا واضلاع) باستخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام.
- هذا بخصوص حساب المثلثات المستوية. وهناك فرع لا يقل أهمية عنه وهو حساب المثلثات علي السطح الكروي، وهذا الفرع مهم بصفة خاصة في الفلك وفي الملاحة.
- هناك حالة خاصة في حالة حساب جيب تمام الزاوية إذا كان 1 و 0
المصدر من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
للدخول للموقع انقر هنا
